Candidatures
Le sujet ci-dessous est proposé pour un financement de l'école doctorale EDSYS. Le financement n'est pas encore assuré. Les candidatures sont cependant bienvenues. Merci si vous êtes intéressé par le sujet de nous faire parvenir un CV et un courrier de motivation. Ce courrier pourrait avantageusement illustrer vos compétences dans la thématique considérée, par exemple en faisant une analyse d'une ou plusieurs des publications citées ci-dessous.
Titre et Description
Analyse et commande robuste de systèmes en dimension infinie connectés aux bords à des systèmes de dimension finie
Cette proposition de sujet de thèse s’inscrit dans la suite des travaux de thèse menés depuis plusieurs années dans le groupe MAC (thèses de M. Barreau [5], M. Safi [19], M. Bajodek [2]) et de travaux conjoints entre les co-directeurs de thèse sur les méthodes de séparation quadratique pour les systèmes à retard [16, 1]. L’objectif est d’étudier certains systèmes de dimension infinie, modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP), et soumis à des conditions aux bords dynamiques, conditions décrites par des systèmes de dimension finie. Cette classe de systèmes dynamiques permet de modéliser de nombreux phénomènes physiques comme les phénomènes de transport (de matière ou d’information) [8], certaines interactions entre la diffusion de la chaleur et des réactions chimiques [23], des interactions fluide-structure, ou encore les interactions entre des tiges de forage et des roches [5] ... Ces modèles dynamiques se retrouvent également lorsqu’un phénomène décrit par une EDP est asservi par un correcteur de dimension finie, l’équation aux dérivées ordinaires (EDO) jouant alors le rôle du triptyque capteurs-correcteurs-actionneurs [11]. Les retombées attendues sont principalement théoriques mais devraient s’appuyer sur des outils d’optimisation convexe permettant de les appliquer relativement simplement sur des exemples académiques illustratifs (EDP diffusives, dispersives puis dissipatives) avant d’aborder des applications plus concrètes.
Directeurs de thèse
Dimitri Peaucelle, Frédéric Gouaisbaut - LAAS-CNRS équipe MAC
Contexte scientifique, état de l’art
Ce projet de thèse s’inscrit dans l’analyse et la commande de systèmes hétérogènes, au sens de systèmes dynamiques de dimension infinie connectés à des systèmes de dimension finie.
De nombreux travaux ont été consacrés à l’étude de systèmes de dimension infinie, modélisés par des équations aux dérivées partielles (voir [7] pour un panorama des différentes techniques). Pour les systèmes linéaires (notre cadre d’étude), la stabilité est abordée principalement selon trois approches : l’approche modale [15], l’approche par fonctions de Lyapunov, l’approche entrées-sorties.
L’approche modale réside dans le calcul effectif quand c’est possible du spectre d’un opérateur de dimension infinie associé à l’EDP. Cette approche analytique n’est pas robuste aux incertitudes sur les paramètres. Même s’il existe quelques résultats pour la synthèse de correcteurs et observateurs par le placement/réduction de spectre [12], ceux-ci semblent difficiles à étendre. Par ailleurs, si l’approche s’applique avec peu de difficultés dans le cas de conditions aux bords constantes, elle paraît peu appliquable, à l’exception notable des systèmes hyperboliques d’ordre 1 connectés à des ODEs, aux cas de conditions aux bords dynamiques.
La seconde approche implique la recherche d’une fonction de Lyapunov, souvent issue d’une fonction énergie, appréciée par l’intermédiaire d’une norme de l’état [14]. Un des attraits majeurs de cette approche est, par le biais des techniques de backstepping popularisées par [11],[23], de concevoir en progressant par sous-problèmes séparables en cascade à la fois les lois de commande ou d’observation et les certificats de Lyapunov associés. Ces méthodes de backstepping sont cependant dépendantes de la possibilité à décomposer les problèmes en cascades de systèmes stables. Pour les couplages entre systèmes, la construction de fonctions de Lyapunov est fortement dépendante du type de couplage EDP-EDO considéré. Par exemple, la somme de la fonction de Lyapunov issu de l’EDP et celle issue de l’EDO donne souvent des résultats très pessimistes. C’est pourquoi de nombreux travaux se sont consacrés à l’élaboration de fonctions de Lyapunov prenant en compte des termes croisés entre les états de l’EDP et de l’EDO. Cependant le choix de ces fonctions de Lyapunov n’est pas très clair et reste très dépendant du système étudié. Bien souvent, la structure du terme croisé est choisie a priori et un outil d’optimisation comme les LMIs ou les SOS est utilisé pour en déterminer les paramètres [17][24]. Une méthode alternative réside dans l’utilisation de projetés orthogonaux permettant d’extraire de l’état de dimension infinie un certain nombre d’états auxiliaires qui aident à la construction de fonctions de Lyapunov intégrant des termes croisés [4]. Cette approche est également à rapprocher des travaux récents de [13].
La troisième approche est basée sur l’analyse robuste et a fait l’objet de peu de travaux pour ce qui est de l’étude des systèmes de dimension infinie. En général, ces approches se basent sur l’application du théorème du petit gain [10], [3]. Une alternative proposée récemment est d’adjoindre au système interconnecté la dynamique associée aux projetés de l’état de dimension infinie sur une base polynomiale orthogonale. Cela permet de construire alors des critères de stabilité moins pessimistes [3, 1].
Cette approche est envisagée pour cette thèse, elle implique une représentation entrée-sortie des différents sous-modèles (les EDP et les EDO) et l’utilisation d’outils issus de la communauté de la commande robuste comme les IQCs [20] [21] ou la Séparation Quadratique [16]. Ces techniques entrée-sortie ont montré leur efficacité pour l’étude de systèmes de dimension finie, en particulier pour leur flexibilité à aborder de fa ̧con systémique des complications diverses (incertitudes, performances, non-linéarités localisées, retards...). Elles n’ont été étendues et que de façon partielle dans le cadre de dimension infinie (équation de transport et ODEs [6] par exemple) que très récemment à la différence de l’approche basée sur la théorie de Lyapunov très populaires depuis quelques années pour cette classe de systèmes [13].
Plus précisément les enjeux de l’approche robuste entrées-sorties pour les systèmes EDP-EDO sont les suivants :
- Le premier enjeu de la thèse est la modélisation entrée-sortie de systèmes de dimension infinie connectés par les bords dynamiquement afin de caractériser les propriétés du système interconnecté (stabilité, performances, robustesse ...). Cette modélisation n’est pas forcement évidente et n’est pas unique comme le montre certains travaux préliminaires [5, 16]. D’autre part, nous souhaitons également étendre le cadre de ces systèmes en considérant des EDPs non plus mono-dimensionnelles en espace et mono-variable en entrée de commande comme c’est souvent le cas dans littérature mais multi-dimensionnelles en espace et multi-variables dans les entrées-sorties. Nous pensons effectivement que l’approche entrée-sortie est une approche suffisamment versatile pour appréhender ce genre de système.
- En parallèle de la modélisation entrée-sortie il conviendra de construire des classes nouvelles et appropriées de séparateurs, appelés également multiplieurs dans le cadre IQC. Cela conduira à reformuler des notions classiques telles que la passivité et la dissipativité au regard de nouvelles contraintes de type inégalités sur des produits scalaires entre signaux. Des pistes en ce sens peuvent être trouvés dans les travaux récents sur les IQC pour les systèmes à temps variant [22] et les systèmes hybrides [9]. Équipé de ces séparateurs les outils méthodologiques du formalisme IQC/séparation quadratique devraient conduire à de nouvelles conditions originales pour la stabilité robuste et l’analyse de performance des systèmes couplées EDP-EDO.
- En complément, l’élaboration d’inégalités de dissipativité (dans le cadre IQCs) ou de séparateurs (dans le cadre de la séparation quadratique) permettrait un regard nouveau sur la construction de fonctions de Lyapunov et mettre en lumière les liens existants entre les approches Lyapunov et les approches entrées- sorties de la commande robuste. Ce type de lien est déjàétabli par [21] dans le cadre des systèmes de dimension finie. Reste à l’explorer dans le cadre des systèmes de dimension infinie. Fondamentalement, les approches de type Lyapunov sont bien souvent basées sur des considérations énergétiques et donc liées aux concepts de dissipativité.
- Un dernier objectif de la thèse serait d’aborder la synthèse de correcteurs. Les éléments décrits ci-dessus permettraient de formaliser et résoudre des questions d’analyse de la stabilité et des performances, et ce par des outils d’optimisation convexe (programmation semi-définie). Ils peuvent également servir de base pour la conception de correcteurs avec la difficulté principale que les formulation numériques sous- jacentes sont systématiquement non-convexes. Comme exposé dans [18] des pistes pour considérer la synthèse peuvent alors être soit de considérer des cas spécifiques tels que le retour d’état ou le retour dynamique d’ordre plein pour lesquels des formulations convexes sont parfois atteignables à condition de pouvoir formuler le problème sur le système dual (ce qui est un problème ouvert pour les couplages EDP-EDO), soit d’aborder le problème non-convexe avec des heuristiques spécifiques. Les deux approches seraient importantes à considérer avec un intérêt théorique (résultat de commandabilité) pour la première et un intérêt pratique pour la seconde (synthèse de correcteurs de dimension finie, structurés, de faible complexité numérique).
Aspects novateurs
- Modélisation de type entrées-sorties des systèmes hétérogènes en espace en allant vers les systèmes multi- dimensionnels en espace et multi-variables sur les entrées-sorties.
- Proposer des outils méthodologiques de types IQC ou séparateur d’un nouveau type permettant de produire des résultats d’analyse adaptés aux systèmes hétérogènes numériquement efficaces.
- Fournir des méthodes pour la synthèse de correcteurs ou d’observateurs dans le formalisme entrées-sorties choisi.
Références
[1] Yassine Ariba, Frédéric Gouaisbaut, Alexandre Seuret, and Dimitri Peaucelle. Stability analysis of time- delay systems via Bessel inequality: A quadratic separation approach. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 28 :1507–1527, 3 2018.
[2] Mathieu Bajodek. Stability analysis of linear ODE-PDE interconnected systems. Thèse, Université Paul Sabatier - Toulouse III, July 2022.
[3] Mathieu Bajodek, Frédéric Gouaisbaut, and Alexandre Seuret. Frequency delay-dependent stability cri- terion for time-delay systems thanks to fourier–legendre remainders. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 31 :5813–5831, 8 2021.
[4] Mathieu Bajodek, Alexandre Seuret, and Frédéric Gouaisbaut. Stability analysis of an ordinary differential equation interconnected with the reaction–diffusion equation. Automatica, 145 :110515, 11 2022.
[5] Matthieu Barreau. Stability analysis of coupled ordinary differential systems with a string equation : appli- cation to a drilling mechanism. Theses, Université Paul Sabatier - Toulouse III, July 2019.
[6] Matthieu Barreau, Carsten W. Scherer, Frédéric Gouaisbaut, and Alexandre Seuret. Integral quadra- tic constraints on linear infinite-dimensional systems for robust stability analysis. IFAC-PapersOnLine, 53(2) :7752–7757, 2020. 21st IFAC World Congress.
[7] Ruth F. Curtain and Hans Zwart. An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory, vo- lume 21. Springer New York, 1995.
[8] Emilia Fridman. Introduction to Time-Delay Systems Analysis and Control. Birkhauser-Springer, London, 2014.
[9] Tobias Holiki. A Complete Analysis and Design Framework for Linear Impulsive and related Hybrid Sys- tems. PhD thesis, University of Stuttgart, 2022.
[10] Iasson Karafyllis and Miroslav Krstic. Input-to-State Stability for PDEs. Springer International Publishing, 2019.
[11] Miroslav Krstic and Andrey Smyshlyaev. Boundary Control of PDEs. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2008.
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[14] Kirsten A. Morris. Controller Design for Distributed Parameter Systems. Springer International Publishing, 2020.
[15] A. Pazy. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, volume 44. Springer New York, 1983.
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