Optimisation polynomiale pour le contrôle d'un Tokamak

Les combustibles fossiles (pétrole, gaz, charbon) représentent aujourd’hui environ 85 % des sources mondiales d’énergie primaire, malgré leur épuisement prévu d’ici quelques décennies et l’effet de serre du CO2 généré par leur combustion. La fusion thermonucléaire contrôlée par confinement magnétique, telle que réalisée dans les tokamaks, est l’une des options potentielles pour apporter une solution durable à notre besoin énergétique. Les problèmes de contrôle du tokamak deviennent de plus en plus importants pour le succès de la fusion magnétique et seront cruciaux pour ITER. Le contrôle par rétroaction des principaux paramètres macroscopiques du plasma est maintenant assez bien maîtrisé dans les différents tokamaks mondiaux, contrairement au contrôle des profils radiaux internes du plasma, crucial pour assurer à la fois la sécurité de fonctionnement du tokamak et le maintien de régimes plasmas performants. L’opération du tokamak en mode “avancé” (mode H), tel que considéré actuellement pour ITER, nécessite de réguler des barrières internes de transport (phénomènes magnéto-hydrodynamiques locaux) pour permettre une augmentation significative de l’énergie du cœur du plasma et ainsi favoriser la combustion. Cet objectif d’optimisation de la combustion nécessite la prise en compte explicite de termes de flux, souvent décrits sous forme polynomiale.

L’optimisation polynomiale (ou programmation SoS : Sum of Squares) a commencé à s’étendre à l’étude des EDP autour de deux approches : (1) La hiérarchie moments-SoS recourt aux mesures d’occupation pour représenter génériquement les solutions d’une EDP, au prix d’hypothèses parfois peu réalistes. Cependant, des résultats préliminaires encourageants ont été publiés concernant l’étude d’équations de transport. (2) Le calcul certifié d’inégalités fonctionnelles (Lyapunov, Wirtinger...) s’est montré déterminant pour l’analyse de stabilité, avec un fort potentiel d’application à la commande du tokamak. Une faiblesse de cette approche est que les fonctionnelles de Lyapunov sont une donnée du problème, et la programmation SoS ne sert qu’à en vérifier les propriétés, là où la hiérarchie moments-SoS automatise la recherche de fonctions de Lyapunov 1.

La thèse aura pour thème central le contrôle de combustion d’un plasma tokamak dans un scénario d’opération “avancé”, et devra pour cela mobiliser et améliorer l’état des connaissances sur le contrôle des EDP, et plus particulièrement des équations de (réaction-)diffusion non linéaires. Notamment, la généralisation des résultats déjà obtenus à divers problèmes de commande du tokamak, notamment la synthèse algorithmique de lois de commande sans recourir à des fonctions de Lyapunov heuristiques, sera un point de départ de l’étude. À cela s’ajouteront des questions plus difficiles de résolution de problèmes inverses (par exemple le calcul de régions d’attraction) ou de contrôle d’autres EDP paraboliques, qui pourront mener à s’intéresser au formalisme mathématique des mesures d’occupation, parfois plus générique.